Was ist eine Markov-Kette?

Betrachten wir diesen gerichteten Graphen als eine Darstellung der Wetterbedingungen, wobei S für sonnig, C für bewölkt und R für regnerisch steht. Dieses Markov-Kettenmodell hilft bei der Vorhersage des Wetters auf der Grundlage des aktuellen Zustands. In diesem Modell finden Übergänge zwischen den Zuständen statt, und jeder Übergang ist mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit verbunden.

Stellen Sie sich vor, wir beginnen mit einem sonnigen Tag (S). Dem Diagramm zufolge besteht eine 60-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Tag ebenfalls sonnig sein wird, eine 30-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass es bewölkt sein wird, und eine 10-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass es regnen wird.

Dieses Modell bietet eine einfache, aber leistungsfähige Möglichkeit, das Wetter für den nächsten Tag allein auf der Grundlage des aktuellen Wetters vorherzusagen, ohne die Abfolge der vorherigen Tage berücksichtigen zu müssen. Wenn zum Beispiel heute die Sonne scheint, können wir davon ausgehen, dass es morgen mit höherer Wahrscheinlichkeit wieder sonnig wird, aber es besteht auch die Möglichkeit von Bewölkung oder Regen, wie die Übergangswahrscheinlichkeiten zeigen.

Um eine Markov-Kette effizienter darzustellen, können wir eine Übergangsmatrix verwenden. Eine Übergangsmatrix ist eine quadratische Matrix, in der jedes Element die Wahrscheinlichkeit des Übergangs von einem Zustand in einen anderen darstellt. Für unser Wetterbeispiel haben wir eine 3x3-Matrix, da wir drei Zustände haben: Sonnig (S), Bewölkt (C) und Regnerisch (R).

Die Zeilen der Matrix stellen den aktuellen Zustand dar, während die Spalten den nächsten Zustand repräsentieren. Das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix gibt die Wahrscheinlichkeit des Übergangs vom Zustand i zum Zustand j an.

Wir können die Übergangsmatrix P wie folgt konstruieren:

Um das langfristige Verhalten unserer Markov-Kette zu verstehen, führen wir das Konzept einer stationären Verteilung ein. Bei dieser Verteilung handelt es sich um einen Wahrscheinlichkeitsvektor, der bei den Übergängen des Systems im Laufe der Zeit unveränderlich bleibt. Mit anderen Worten: Wenn wir mit einem beliebigen Wetterzustand innerhalb dieses Gleichgewichts beginnen, bleiben die Übergangswahrscheinlichkeiten unverändert. Die stationäre Verteilung stellt also die Verteilung der Zustände dar, die die Kette im Laufe der Zeit immer wieder aufsuchen wird, unabhängig vom Anfangszustand.

Bezeichnen wir diesen Gleichgewichtsvektor als π, der die langfristigen Wahrscheinlichkeiten für jeden Zustand (sonnig, bewölkt, regnerisch) darstellt. Mathematisch gesehen erfüllt π die folgende Gleichung:

Diese Gleichung impliziert, dass die Multiplikation des Gleichgewichtsvektors mit der Übergangsmatrix P denselben Vektor ergibt. In Markov-Ketten wird dies als "Pisa-Zustand" bezeichnet und bezieht sich auf eine bestimmte Art von Zustand, in den die Kette nur von anderen Zuständen aus gelangen kann, aber nicht von ihm weg, wenn sie ihn einmal erreicht hat.

Außerdem müssen die Elemente von π die Summe 1 ergeben, da sie Wahrscheinlichkeiten darstellen.

Löst man diese Gleichungen (was mit Techniken der linearen Algebra oder mit Computerprogrammen geschehen kann), so erhält man die stationäre Verteilung π.

Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass wir diese lösen und finden:

Diese stationäre Verteilung gibt uns die langfristigen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Wetterbedingungen an, unabhängig vom Ausgangszustand. Ausgehend von einem beliebigen Wetterzustand konvergieren die Wahrscheinlichkeiten für sonnige, bewölkte oder regnerische Tage im Laufe der Zeit zu 45 %, 35 % bzw. 20 %. Dieses Konzept ist nützlich, um das stationäre Verhalten von Markov-Ketten in verschiedenen Anwendungen zu verstehen, z. B. bei der Vorhersage von langfristigen Wettermustern oder stationären Kundenverteilungen im geschäftlichen Kontext.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Markov-Ketten einen robusten Rahmen für die Modellierung und Vorhersage von Systemen mit probabilistischen Übergängen zwischen Zuständen bieten. Durch die Nutzung der Übergangsmatrix können wir die Wahrscheinlichkeiten des Übergangs von einem Zustand in einen anderen effektiv erfassen und analysieren. Die stationäre Verteilung bietet wertvolle Einblicke in das langfristige Verhalten des Systems und gibt Aufschluss über die Gleichgewichtswahrscheinlichkeiten, zu denen das System im Laufe der Zeit konvergieren wird.

Das Verständnis dieser Konzepte ermöglicht es uns, fundierte Vorhersagen und Entscheidungen auf der Grundlage des stationären Verhaltens verschiedener Prozesse zu treffen, von der Wettervorhersage bis zur Optimierung von Geschäftsstrategien. Wenn wir diese Prinzipien anwenden, gewinnen wir ein tieferes Verständnis dafür, wie sich Systeme entwickeln und stabilisieren, was zu genaueren Prognosen und strategischer Planung führt.